В каких единицах измеряется модуль упругости

Модуль Юнга (синонимы: модуль упругости I рода, модуль продольной упругости) – механическая характеристика материалов, определяющая их способность сопротивляться продольным деформациям. Показывает степень жесткости материала.

Назван в честь английского ученого Томаса Юнга.

Обозначается латинской прописной буквой E
Единица измерения – Паскаль [Па].

В сопротивлении материалов модуль продольной упругости участвует в расчетах на жесткость при растяжении-сжатии и изгибе, а также в расчетах на устойчивость.

Учитывая то, что практически все конструкционные материалы имеют значение E высокого порядка (как правило 10 9 Па), его размерность часто записывают с помощью кратной приставки «гига» (гигапаскаль [ГПа])

Для всех материалов его величину можно определить в ходе эксперимента по определению модуля упругости I рода.

Приближенно значение модуля можно определить по диаграмме напряжений получаемой при испытаниях на растяжение.

Рис. 1 Начальный фрагмент диаграммы напряжений

В этом случае модуль Юнга равен отношению нормальных напряжений к соответствующим относительным деформациям, на участке диаграммы (рис. 1) до предела пропорциональности σ _пц (тангенсу угла α наклона участка пропорциональности к оси деформаций ε ).

В таблице 1 приведены сравнительные значения модуля для некоторых наиболее часто используемых материалов

Основной главной задачей инженерного проектирования служит выбор оптимального сечения профиля и материала конструкции. Нужно найти именно тот размер, который обеспечит сохранение формы системы при минимальной возможной массе под влиянием нагрузки. К примеру, какую именно сталь следует применять в качестве пролётной балки сооружения? Материал может использоваться нерационально, усложнится монтаж и утяжелится конструкция, увеличатся финансовые затраты. На этот вопрос ответит такое понятие как модуль упругости стали. Он же позволит на самой ранней стадии избежать появления этих проблем.

Общие понятия

Модуль упругости (модуль Юнга) — это показатель механического свойства материала, характеризующий его сопротивляемость деформации растяжения. Иными словами, это значение пластичности материала. Чем выше значения модуля упругости, тем меньше будет какой-либо стержень растягиваться при иных равных нагрузках (площадь сечения, величина нагрузки и другие).

Модуль Юнга в теории упругости обозначается буквой Е. Он является составляющей закона Гука (о деформации упругих тел). Эта величина связывает возникающее в образце напряжение и его деформацию.

Измеряется эта величина согласно стандартной международной системе единиц в МПа (Мегапаскалях). Но инженеры на практике больше склоняются к применению размерности кгс/см2.

Опытным путём осуществляется определение этого показателя в научных лабораториях. Сутью этого метода является разрыв гантелеобразных образцов материала на специальном оборудовании. Узнав удлинение и натяжение, при которых образец разрушился, делят переменные данные друг на друга. Полученная величина и является модулем (Юнга) упругости.

Таким образом определяется только модуль Юнга материалов упругих: медь, сталь и прочее. А материалы хрупкие сжимают до того момента, пока не появятся трещины: бетон, чугун и им подобные.

Механические свойства

Только при работе на растяжение или сжатие модуль (Юнга) упругости помогает угадать поведение того или иного материала. А вот при изгибе, срезе, смятии и прочих нагрузках потребуется ввести дополнительные параметры:

1. Жёсткостью называют произведение поперечного сечения профиля на модуль упругости. По этой величине можно судить о пластичности узла конструкции в целом, а не о материале отдельно. Единицей измерения являются килограммы силы.
2. Продольное относительное удлинение — это отношение абсолютного удлинения материала-образца к его общей длине. К примеру, на стержень, длина которого равна 200 миллиметров, приложили некоторую силу. В результате он стал короче на 5 миллиметров. В результате относительное удлинение будет равняться 0,05. Эта величина безразмерная. Для более удобного восприятия иногда её переводят в проценты.
3. Поперечное относительное удлинение рассчитывается точно так же, как и продольное относительное удлинение, но вместо длины берут диаметр стержня. Опытным путём было установлено, что для большего количества материала поперечное меньше продольного удлинения приблизительно в 4 раза.
4. Коэффициент Пуассона. Это отношения относительной продольной к относительной поперечной деформации. При помощи этой величины можно полностью описать под воздействием нагрузки изменения формы.
5. Модуль сдвига описывает упругие свойства под воздействием касательных свойств на образец. Иными словами, когда вектор силы направляется к поверхности тела под 90 градусов. Примером подобных нагрузок служит работа гвоздей на смятие, заклёпок на срез и пр. Этот параметр связан с вязкостью материала.
6. Модуль упругости объёмной характеризует изменение объёма образца для разностороннего равномерного приложения нагрузки. Эта величина является отношением давления объёмного к деформации сжатия объёмной. Как пример можно рассматривать опущенный в воду материал, на который воздействует давление жидкости по всей его площади.

Кроме всего вышесказанного стоит упомянуть, что у некоторых материалов в зависимости от направления нагрузки разные механические свойства. Подобные материалы называются анизотропными. Примерами подобного является ткани, некоторые виды камня, слоистые пластмассы, древесина и прочее.

У материалов изотропных механические свойства и деформация упругая в любом направлении одинаковы. К таким материалам относятся металлы: алюминий, медь, чугун, сталь и прочее, а также каучук, бетон, естественные камни, пластмассы неслоистые.

Модуль упругости

Стоит отметить, что эта величина непостоянная. Даже для одного материала она может иметь разное значение в зависимости от того, в какие точки была приложена сила. Кое-какие пластично-упругие материалы имеют практически постоянное значение модуля упругости при работе как на растяжение, так и на сжатие: сталь, алюминий, медь. А есть и такие ситуации, когда эта величина измеряется формой профиля.

Некоторые значения (величина представлена в миллионах кгс/см2):

1. Алюминий — 0,7.
2. Древесина поперёк волокон — 0,005.
3. Древесина вдоль волокон — 0,1.
4. Бетон — 0,02.
5. Каменная гранитная кладка — 0,09.
6. Каменная кирпичная кладка — 0,03.
7. Бронза — 1,00.
8. Латунь — 1,01.
9. Чугун серый — 1,16.
10. Чугун белый — 1,15.

Разница в показателях модулей упругости для сталей в зависимости от их марок:

1. Подшипниковые стали (ШХ-15) — 2,1.
2. Пружинные (60С2) и штамповые (9ХМФ) — 2,03.
3. Нержавеющие (12Х18Н10Т) — 2,1.
4. Низколегированные (40Х, 30ХГСА) — 2,05.
5. Обычного качества (Ст. 6, ст.3) — 2,00.
6. Конструкционные высокого качества (45,20) — 2,01.

Ещё это значение изменяется в зависимости от вида проката:

1. Трос с сердечником металлическим — 1,95.
2. Канат плетёный — 1,9.
3. Проволока высокой прочности — 2,1.

Как видно, отклонения в значениях модулей упругой деформации стали незначительны. Именно по этой причине большинство инженеров, проводя свои расчёты, пренебрегают погрешностями и берут значение, равное 2,00.

Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела (материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль упругости тела в общем случае зависит от напряжения и определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона начального линейного участка диаграммы напряжений-деформаций:

E = def d σ d ε <displaystyle E <stackrel < ext><=>> <frac >>

• E — модуль упругости;
• σ <displaystyle sigma >— напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы);
• ε <displaystyle varepsilon >— упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру).

В наиболее распространенном случае зависимость напряжения и деформации линейная (закон Гука):

E = σ ε <displaystyle E=<frac <sigma ><varepsilon >>> .

Если напряжение измеряется в паскалях, то, поскольку деформация является безразмерной величиной, единицей измерения Е также будет паскаль. Альтернативным определением является определение, что модуль упругости — это напряжение, достаточное для того, чтобы вызвать увеличение длины образца в два раза. Такое определение не является точным для большинства материалов, потому что это значение намного больше чем предел текучести материала или значения, при котором удлинение становится нелинейным, однако оно может оказаться более интуитивным.

Разнообразие способов, которыми могут быть изменены напряжения и деформации, включая различные направления действия силы, позволяют определить множество типов модулей упругости. Здесь даны три основных модуля:

• Модуль Юнга ( E ) характеризует сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации, или свойство объекта деформироваться вдоль оси при воздействии силы вдоль этой оси; определяется как отношение напряжения к деформации сжатия (удлинения). Часто модуль Юнга называют просто модулем упругости.
• Модуль сдвига или модуль жесткости ( G или μ <displaystyle mu >) характеризует способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма; он определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига, определяемой как изменение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения. Модуль сдвига является одной из составляющих явления вязкости.
• Модуль объёмной упругости или Модуль объёмного сжатия ( K ) характеризует способность объекта изменять свой объём под воздействием всестороннего нормального напряжения (объёмного напряжения), одинакового по всем направлениям (возникающего, например, при гидростатическом давлении). Он равен отношению величины объёмного напряжения к величине относительного объёмного сжатия. В отличие от двух предыдущих величин, модуль объёмной упругости невязкой жидкости отличен от нуля (для несжимаемой жидкости — бесконечен).

Гомогенные и изотропные материалы (твердые), обладающие линейными упругими свойствами, полностью описываются двумя модулями упругости, представляющими собой пару любых модулей. Если дана пара модулей упругости, все другие модули могут быть получены по формулам, представленным в таблице ниже.

В невязких течениях не существует сдвигового напряжения, поэтому сдвиговый модуль всегда равен нулю. Это влечёт также и равенство нулю модуля Юнга.

Формулы преобразования
Упругие свойства гомогенных изотропных линейно-упругих материалов уникально определяются любыми двумя модулями упругости. Таким образом, имея два модуля, остальные можно вычислить по следующим формулам:
( λ , G ) <displaystyle (lambda ,,G)>	( E , G ) <displaystyle (E,,G)>	( K , λ ) <displaystyle (K,,lambda )>	( K , G ) <displaystyle (K,,G)>	( λ , ν ) <displaystyle (lambda ,, u )>	( G , ν ) <displaystyle (G,, u )>	( E , ν ) <displaystyle (E,, u )>	( K , ν ) <displaystyle (K,, u )>	( K , E ) <displaystyle (K,,E)>
K = <displaystyle K=> модуль объемной

λ + 2 G 3 <displaystyle lambda +<frac <2G><3>>> E G 3 ( 3 G − E ) <displaystyle <frac <3(3G-E)>>> λ 1 + ν 3 ν <displaystyle lambda <frac <1+
u ><3
u >>> 2 G ( 1 + ν ) 3 ( 1 − 2 ν ) <displaystyle <frac <2G(1+
u )><3(1-2
u )>>> E 3 ( 1 − 2 ν ) <displaystyle <frac <3(1-2
u )>>> E = <displaystyle E=> модуль продольной

G 3 λ + 2 G λ + G <displaystyle G<frac <3lambda +2G><lambda +G>>> 9 K K − λ 3 K − λ <displaystyle 9K<frac <3K-lambda >>> 9 K G 3 K + G <displaystyle <frac <9KG><3K+G>>> λ ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ν <displaystyle <frac <lambda (1+
u )(1-2
u )><
u >>> 2 G ( 1 + ν ) <displaystyle 2G(1+
u )> 3 K ( 1 − 2 ν ) <displaystyle 3K(1-2
u )> λ = <displaystyle lambda => первый параметр ЛамеG E − 2 G 3 G − E <displaystyle G<frac <3G-E>>> K − 2 G 3 <displaystyle K-<frac <2G><3>>> 2 G ν 1 − 2 ν <displaystyle <frac <2G
u ><1-2
u >>> E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) <displaystyle <frac <(1+
u )(1-2
u )>>> 3 K ν 1 + ν <displaystyle <frac <3K
u ><1+
u >>> 3 K ( 3 K − E ) 9 K − E <displaystyle <frac <3K(3K-E)><9K-E>>> G = <displaystyle G=> модуль сдвига

или второй параметр Ламе

3 K − λ 2 <displaystyle 3<frac <2>>> λ 1 − 2 ν 2 ν <displaystyle lambda <frac <1-2
u ><2
u >>> E 2 + 2 ν <displaystyle <frac <2+2
u >>> 3 K 1 − 2 ν 2 + 2 ν <displaystyle 3K<frac <1-2
u ><2+2
u >>> 3 K E 9 K − E <displaystyle <frac <3KE><9K-E>>> ν = <displaystyle
u => коэф. пуассонаλ 2 ( λ + G ) <displaystyle <frac <lambda ><2(lambda +G)>>> E 2 G − 1 <displaystyle <frac <2G>>-1> λ 3 K − λ <displaystyle <frac <lambda ><3K-lambda >>> 3 K − 2 G 2 ( 3 K + G ) <displaystyle <frac <3K-2G><2(3K+G)>>> 3 K − E 6 K <displaystyle <frac <3K-E><6K>>> M = <displaystyle M=> λ + 2 G <displaystyle lambda +2G> G 4 G − E 3 G − E <displaystyle G<frac <4G-E><3G-E>>> 3 K − 2 λ <displaystyle 3K-2lambda > K + 4 G 3 <displaystyle K+<frac <4G><3>>> λ 1 − ν ν <displaystyle lambda <frac <1-
u ><
u >>> G 2 − 2 ν 1 − 2 ν <displaystyle G<frac <2-2
u ><1-2
u >>> E 1 − ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) <displaystyle E<frac <1-
u ><(1+
u )(1-2
u )>>> 3 K 1 − ν 1 + ν <displaystyle 3K<frac <1-
u ><1+
u >>> 3 K 3 K + E 9 K − E <displaystyle 3K<frac <3K+E><9K-E>>>

Модули упругости (Е) для некоторых веществ: