Расчет балки на прогиб формула

σ — нормальные напряжения,
τ — касательные напряжения,
Q_y – внутренняя поперечная сила,
M_x – внутренний изгибающий момент,
I_x – осевой момент инерции сечения балки,
W_x – осевой момент сопротивления сечения,
[ σ ], [ τ ] – соответствующие допустимые напряжения,
E – модуль упругости I рода (модуль Юнга),
y — расстояние от оси x до рассматриваемой точки сечения балки.

Формула кривизны балки в заданном сечении

Расчет нормальных напряжений в произвольной точке сечения балки

Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе (проверочный расчет)

Осевые моменты инерции I и сопротивления W

• прямоугольного сечения
  
  h – высота сечения,
  b – ширина сечения балки.
• круглого сечения балки
  
  D — диаметр сечения

Касательные напряжения в произвольной точке сечения определяются по формуле Журавского:

S_x * — статический момент относительно оси x отсеченной части сечения

b — ширина сечения на уровне рассматриваемой точки

Условие прочности балки по касательным напряжениям

Дифференциальное уравнение линии изогнутой оси балки

θ _z, y_z — соответственно угол наклона и прогиб сечения балки на расстоянии z от начала координат,
θ , y — соответственно угол наклона и прогиб сечения балки в начале координат,
m, F, q — соответственно все изгибающие моменты, сосредоточенные силы и распределенные нагрузки приложенные к балке,
a, b — расстояние от начала координат до сечений где приложены моменты и силы соответственно,
c — расстояние от начала координат до начала распределенной нагрузки q.

Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой. Например, СНиП № 2.09.03-85 определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше – 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб.

Способы выполнить расчет и проверку на прогиб

Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

Просчитать прогиб конструкции можно несколькими способами:

• Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
• Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
• Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

Методика выполнения расчета на прогиб

Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

В нашем случае балка:

1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h , длина опирающейся части составляет L ;
2. Линейка нагружена силой Q , проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ , с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f ;
3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ , где Е – справочная величина, R — усилие, Δ — величина деформации тела.

Вычисляем моменты инерции и сил

Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е) . Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е) .

Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е) .

Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил M_max = q*L*2/8 , соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е) . Величину b·h 2 /6 называют моментом инерции и обозначают W . В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L 2 /8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h 3 /12, где b и h – размеры сечения балки.

Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

Формулы для практического использования

На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

• Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
• По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
• По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L 2 /(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

Ответ прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

Заключение

Аналогичным образом поступает большинство разработчиков и проектантов серьезных построек. Программа – это хорошо, она помогает очень быстро выполнить расчет прогиба и основных параметров нагружения перекрытия, но важно также предоставить заказчику документальное подтверждение полученных результатов в виде конкретных последовательных расчетов на бумаге.

Расчет выполняется по следующей методике:

1. Заменяем распределенную нагрузку ее равнодействующей, которая является сосредоточенной силой. Для равномерно распределенной нагрузки равнодействующая равна произведению интенсивности нагрузки q на длину участка L, на котором она действует: Fq = q*L.

2. Обозначаем опоры. Общепринято их обозначать буквами А и В. Простая балка имеет одну шарнирно-неподвижную и одну шарнирно-подвижную опоры.

3. Освобождаемся от опор и заменяем их действие на балку реакциями.
Реакции опор при такой нагрузке будут только вертикальными.

4. Составляем уравнения равновесия вида:
MA = 0; MB = 0,
Моментом силы относительно точки называется произведение этой силы на плечо — кратчайшее расстояние от этой точки приложения силы (в общем случае — до линии действия силы).

5. Выполним проверку решения. Для этого составим уравнение равновесия: Y = 0,
Если оно удовлетворено, то реакции найдены правильно, а если нет, но в решении допущена ошибка.

6. Строим эпюру поперечных сил Qx. Для этого определяем значения поперечных сил в характерных точках. Напомним, что поперечная сила в сечении равна сумме проекций всех сил, расположенных только слева или только справа от рассматриваемого сечения, на ось, перпендикулярную оси элемента. Силу, расположенную слева от рассматриваемого сечения и направленную вверх, считают положительной (со знаком «плюс»), а направленную вниз — отрицательной (со знаком «минус»). Для правой части балки — наоборот.
В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных сил, в том числе в точках приложения опорных реакций, необходимо определить два значения поперечной силы: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Поперечные силы в этих сечениях обозначаются соответственно Qлев и Qправ.
Найденные значения поперечных сил в характерных точках откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются прямыми линиями по следующим правилам:
а) если к участку балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой линией, параллельной нулевой линии;
б) если на участке балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения поперечных сил соединяются прямой, наклонной к нулевой линии. Она может пересекать или не пересекать нулевую линию.
Соединив все значения поперечных сил по указанным правилам, получим график изменения поперечных сил по длине балки. Такой график называется эпюрой Qx.

Прогиб балки: формула для дома или нагрузки на несущую часть конструкции

7. Строим эпюру изгибающих моментов Мx. Для этого определяем изгибающие моменты в характерных сечениях. Напомним, что изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен сумме моментов всех сил (распределенных, сосредоточенных, в том числе и опорных реакций, а также внешних сосредоточенных моментов), расположенных только слева или только справа от этого сечения. Если любое из перечисленных силовых воздействий стремится повернуть левую часть балки по часовой стрелке, то оно считается положительным (со знаком «плюс»), если против — отрицательным (со знаком «минус»), а для правой части наоборот.
В сечениях, соответствующих точкам приложения сосредоточенных моментов, необходимо определить два значения изгибающего момента: чуть левее рассматриваемой точки и чуть правее ее. Изгибающие моменты в этих точках обозначаются соответственно Млев и Мправ. В точках приложения сил определяется одно значение изгибающего момента.
Полученные значения откладываются в некотором масштабе от нулевой линии. Эти значения соединяются в соответствии со следующими правилами:
а) если на участке балки нет распределенной нагрузки, то под этим участком балки два соседних значения изгибающих моментов соединяются прямой линией;
б) если к участку балки приложена распределенная нагрузка, то под этим участком значения изгибающих моментов для двух соседних точек соединяются по параболе.

Пример решения балки:

Минимальная высота сварных балок по условиям предельных прогибов.

Наименьшаявысота балокhмин определяется жесткостью балки — ее предельным прогибом.
Минимальная высота балки находится из формулы прогиба. Для равномерно распределенной по длине балки нагрузки

f = 5/384 (pн + gн)l4/EJб,

где рн и gн являются — временной (с учетом в необходимых случаях динамического коэффициента) и постоянной нормативными нагрузками на 1 м длины балки (без коэффициента перегрузки); l — пролетом балки; EJб — жесткостью балки на изгиб.

Вопрос 40.

Определение толщины стального настила балок по формуле Телояна и по графикам зависимости от погонной нагрузки и предельного прогиба.

Вопрос 41.

Порядок подбора сечений составных балок.

В следующем порядке:

1. Задавшись ориентировочно , находим по табл. 8.1, , определяем , и . Если расчет ведется по прочности. Находим и принимаем, ориентируясь на , стандартный размер из сортамента металла для стенки

2. Если

Определение — стрела — прогиб

Определение стрелы прогиба и предела прочности при сжатии-факультативно, если оно не оговорено ТУ заказа.

Кроме определения стрелы прогиба и напряжений смятия иногда определяют суммарные напряжения сг2, возникающие в распределительном вале от совместного действия изгибающего и скручивающего моментов.

Кроме определения стрелы прогиба и напряжений смятия иногда определяют суммарные напряжения as, возникающие в распределительном вале от совместного действия изгибающего и скручивающего моментов.

Для определения стрелы прогиба лист материала кладут Йогнутой стороной вверх на горизонтальную плоскость. Параллельно краю листа прикладывают линейку с предпочтительной длиной 1000 мм. Масса линейки не должна оказывать влияния на результат измерения. Измеряют максимальное расстояние ( просвет) между линейкой и поверхностью листа.

Для определения стрелы прогиба ремня необходимо приложить к ремню линейку и нажимать большим пальцем на ремень в его средней части с усилием: для двигателей автомобилей ГАЗ и ЗИЛ-3-4, для ЯМЗ — около 10 кгс, установив, таким образом, на сколько миллиметров прогнулся ремень.

Для определения стрелы прогиба ремня необходимо приложить к ремню линейку и нажать большим пальцем на ремень в его средней части с усилием: для двигателей автомобилей ГАЗ и ЗИЛ — 3 — 4, для ЯМЗ — около 10 кгс, при этом прогиб ремня у двигателей ГАЗ должен быть 12 — 20, у ЗИЛ-120, 121 и ГАЗ-21 — 10 — 15, у ЯМЗ — 13 — 19, у автомобилей ЗИЛ-158, Урал-15 — 20 мм.

При определении стрелы прогиба ступенчатых валов в расчет принимают некоторый усредненный диаметр.

Формула (16.31) для определения стрелы прогиба в середине стержня при внецентренном приложении нагрузки является приближенной, так как изогнутая ось стержня принята в виде полуволны синусоиды.

Контроль изогнутости требует определения стрелы прогиба в продольном сечении изделия при прокручивании его на ножах.

Особенностью расчета этих шеверов является определение стрелы прогиба боковой поверхности зубьев и изменения толщины зуба по длине шевера.

HOUSEHAND.ru —

Если стрелу прогиба облегающего шевера увеличить, то при обработке на колесах образуются зубья бочкообразной формы ( фиг. Бочкообразные зубья уменьшаются ( по толщине) от середины к торцам колеса на 0 01 — 0 03 мм. Колеса с бочкообразными зубьями менее чувствительны к перекосу осей передачи, обеспечивают положение пятна касания посередине зуба, способствуют уменьшению шума передачи и других недостатков. Колеса с бочкообразными зубьями могут быть обработаны и обычными шеверами, но на станках со специальным устройством.

Особенностью расчета этих шеверов является определение стрелы прогиба боковой поверхности зубьев и изменения толщины зуба по длине шевера. Если стрелу прогиба облегающего шевера увеличить, то при обработке на колесах образуются зубья бочкообразной формы ( фиг. Бочкообразные зубья уменьшаются ( по толщине) от середины к торцам колеса на 0 01 — 0 03 мм. Колеса — с бочкообразными зубьями менее чувствительны к перекосу осей передачи, обеспечивают положение пятна касания посередине зуба, способствуют уменьшению шума передачи и других недостатков. Колеса с бочкообразными зубьями могут быть обработаны и обычными шеверами, но на станках со специальным устройством.

При заводских испытаниях рессор обычно ограничиваются определением стрелы прогиба рессоры при заданной рабочей нагрузке.

На рис. 3 — 5 приведены данные для определения стрелы прогиба, напряжений в срединной поверхности и напряжений изгиба для квадратной пластинки по результатам уточненного решения ; на рис. 4 — 5 обозначено: А — угол пластинки; С — центр.

Необходимо отметить, что вышеприведенные значения коэффициента J3 для определения стрелы прогиба балок имеют ограниченное применение, ибо они дают ответ лишь для Двух крайних случаев закрепления концов балок-свободного и защемленного. Каркасы котлоагрегатов представляют собой рамную систему с упругими заделками ригеля ( горизонтальной балки) в узлах. При этом углы в 90 сохраняются между осями стержней, сходящимися в узле.

Страницы: 1 2