Относительной деформацией при кручении равна

Кручением называется такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.

Брусья, испытывающие кручение, принято называть валами.

Внутренний крутящий момент

Внутренние скручивающие моменты появляются под действием внешних крутящих моментов m_i, расположенных в плоскостях, перпендикулярных к продольной оси бруса.

Скручивающие моменты передаются на вал в местах посадки зубчатых колес, шкивов ременных передач и т.п.

Величина крутящего момента в любом сечении вала определяется методом сечений:

т.е. крутящий момент численно равен алгебраической сумме скручивающих моментов m_i, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков внутренних скручивающих моментов:
Положительными принимаются внутренние моменты, стремящиеся повернуть рассматриваемую часть вала против хода часовой стрелки, при рассмотрении со стороны отброшенной части вала.

В технике наиболее широко используются валы круглого поперечного сечения.

Теория кручения круглых валов основана на следующих гипотезах:

1. поперечное сечение, плоское до деформации вала, остается плоским и после деформации;
2. радиусы, проведенные мысленно в любом поперечном сечении, в процессе деформации вала не искривляются.

Напряжения при кручении

В поперечных сечениях вала при кручении имеют место только касательные напряжения.
Касательные напряжения, направленные перпендикулярно к радиусам, для произвольной точки, отстоящей на расстоянии ρ от центра, вычисляются по формуле:

где I_ρ — полярный момент инерции.
Эпюра касательных напряжений при кручении имеет следующий вид:

Касательные напряжения меняются по линейному закону и достигают максимального значения на контуре сечения при ρ= ρ_max:

Здесь:

— полярный момент сопротивления.
Геометрические характеристики сечений:
а) для полого вала:


б) для вала сплошного сечения (c=0)

в) для тонкостенной трубы (t 0,9)

где

— радиус срединной поверхности трубы.

Деформации

Деформации валов при кручении заключаются в повороте одного сечения относительно другого.

Угол закручивания вала на длине Z определяется по формуле:

Если крутящий момент и величина GI_ρ, называемая жесткостью поперечного сечения при кручении, постоянны, для участка вала длиной l имеем:

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания:

Расчет валов сводится к одновременному выполнению двух условий:

1. условию прочности:
   
2. условию жесткости:
   

Для стальных валов принимается:

• допускаемое касательное напряжение
  
• допускаемый относительный угол закручивания
  

Используя условия прочности и жесткости, как и при растяжении – сжатии можно решать три типа задач:

1. проверочный расчет, заключающийся в проверке выполнения условий прочности и жесткости при известных значениях крутящего момента, размеров и материала вала.
2. Проектировочный расчет, при котором вычисляются диаметры:
   
   при этом берется большее из найденных значений, а затем принимается стандартное значение по ГОСТ.
3. Определение грузоподъемности вала:
4. из условия прочности
   
5. из условия жесткости
   

Из двух найденных значений крутящего момента необходимо принять меньшее.

При кручении, наряду с касательными напряжениями в поперечных сечениях, в соответствии с законом парности, касательные напряжения возникают и в продольных сечениях. Таким образом, во всех точках вала имеет место чистый сдвиг.

Главные напряжения σ₁ = τ, σ₃ = -τ наклонены под углом α=±45 о к образующей.

Потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле

или для участка вала при постоянном T и GI_ρ

Кручение — это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний сило­вой фактор — крутящий момент (М_z).

Деформация кручения возникает при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси Z. Эти пары сил будем называть скручивающими моментами.

Крутящий момент M_z в произвольном поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих мо­ментов, приложенных к брусу по одну из сторон от сечения.

Знак крутящего момента не имеет физического смысла, но для определенности считается, что внешний скручивающий момент, направленный против часовой стрелки (если смотреть со стороны сечения), вызывает в данном сечении положительный крутящий момент. Если же внешний момент вращает отсеченную часть бруса по часовой стрелке (если смотреть со стороны сечения), то крутящий момент M_z в рассматриваемом поперечном сечении будет отрицательным.

В дальнейшем будем рассматривать только брус круглого по­перечного сечения.

Касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях бруса, достигают наибольшего значения в точках контура попереч­ного сечения и равны:

где W_p=pd 3 /16 – полярный момент сопротивления бруса круглого поперечного сечения при кручении, м 3 . Здесь d — диаметр вала, м.

Угол закручивания (j_i) участка вала постоянного поперечно­го сечения, на котором действует постоянный крутящий момент M_zi, определяется по следующей формуле:

где l – длина участка вала данного диаметра, на котором действует постоянный крутящий момент M_z, м; G – модуль упругости второго рода или модуль сдвига, Па; — полярный момент инерции.

Условие прочности при кручении записывается в следующем виде:

где [t] — допускаемое касательное напряжение, Па.

При проектном расчете формула (3.3) преобразовывается к виду

При определении угла закручивания всего вала необходимо просуммировать углы закручивания j_I отдельных участков:

где n — число участков стержня.

Произведение GI_p называется жесткостью сечения бруса круглого сечения при кручении.

Условие жесткости при кручении записывается в виде:

где j – относительный угол закручивания тела (угол закру­чивания на единицу длины), Н/м; [j]- допускаемый относительный угол закручивания.

Исходные данные: G = 0,4 Е; Е = 2*105 МПа; Т1 = 6 кН*м; Т2 = 2 кН*м; Т3 = 1 кН*м; Т4 = 3 кН*м; а =1м; в = 0,5 м; с = 2 м; d =1,5 м; е = 1 м; t = 20 МПа.

Построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала, проверить на прочность по касательным напряжениям, построить эпюру углов закручивания.

а) Построение эпюры крутящих моментов M_z

Внешние скручивающие моменты T₁, T₂ и T₃ принимаем положительными, T₄ — отрицательным (рис.3.3, а).

Определим значения крутящих моментов на отдельных участ­ках:

По полученным результатам строим эпюру крутящих моментов М_z (рис.3.3, б).

б) Определение диаметров вала

Диаметры валов d₁ и d₂ определяются из условия прочности на кручение по формуле (3.4):

Полученные значения диаметров вала округляем до нормаль­ных линейных размеров / 2 /: D₁ = 120мм; d₂ = 95мм.

в) Построение эпюры касательных напряжений по длине вала

Касательные напряжения определяем по формуле (3.3), предварительно определив полярные моменты сопротивления сечений вала:

По полученным результатам строим эпюру касательных напря­жений t (рис. 3.3, в).

г) Построение эпюры углов закручивания

Углы закручивания j сечения вала относительно жесткой заделки найдем по формуле (3.5), предварительно определив полярные моменты инерции сечений:

По полученным результатам строим эпюру углов закручивания j (рис. 3.3, г).

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Кручение круглого бруса происходит при нагружении его па­рами сил с моментами в плоскостях, перпендикулярных продольной оси. При этом образующие бруса искривляются и разворачиваются на угол γ, называемый углом сдвига (угол поворота образующей). Поперечные сечения разворачиваются на угол φ, называемый углом закручивания (угол поворота сечения, рис. 26.1).

Длина бруса и размеры поперечного сечения при кручении не изменяются.

Связь между угловыми деформациями определяется соотноше­нием

l — длина бруса; R — радиус сечения.

Длина бруса значительно больше радиуса сечения, следователь­но, φ >> γ

Угловые деформации при кручении рассчитываются в радиа­нах.

Дата добавления: 2015-08-08 ; просмотров: 974 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ