Модуль упругости первого рода для стали

Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела (материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль упругости тела в общем случае зависит от напряжения и определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона начального линейного участка диаграммы напряжений-деформаций:

E = def d σ d ε <displaystyle E <stackrel < ext><=>> <frac >>

• E — модуль упругости;
• σ <displaystyle sigma >— напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы);
• ε <displaystyle varepsilon >— упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру).

В наиболее распространенном случае зависимость напряжения и деформации линейная (закон Гука):

E = σ ε <displaystyle E=<frac <sigma ><varepsilon >>> .

Если напряжение измеряется в паскалях, то, поскольку деформация является безразмерной величиной, единицей измерения Е также будет паскаль. Альтернативным определением является определение, что модуль упругости — это напряжение, достаточное для того, чтобы вызвать увеличение длины образца в два раза. Такое определение не является точным для большинства материалов, потому что это значение намного больше чем предел текучести материала или значения, при котором удлинение становится нелинейным, однако оно может оказаться более интуитивным.

Разнообразие способов, которыми могут быть изменены напряжения и деформации, включая различные направления действия силы, позволяют определить множество типов модулей упругости. Здесь даны три основных модуля:

• Модуль Юнга ( E ) характеризует сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации, или свойство объекта деформироваться вдоль оси при воздействии силы вдоль этой оси; определяется как отношение напряжения к деформации сжатия (удлинения). Часто модуль Юнга называют просто модулем упругости.
• Модуль сдвига или модуль жесткости ( G или μ <displaystyle mu >) характеризует способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма; он определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига, определяемой как изменение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения. Модуль сдвига является одной из составляющих явления вязкости.
• Модуль объёмной упругости или Модуль объёмного сжатия ( K ) характеризует способность объекта изменять свой объём под воздействием всестороннего нормального напряжения (объёмного напряжения), одинакового по всем направлениям (возникающего, например, при гидростатическом давлении). Он равен отношению величины объёмного напряжения к величине относительного объёмного сжатия. В отличие от двух предыдущих величин, модуль объёмной упругости невязкой жидкости отличен от нуля (для несжимаемой жидкости — бесконечен).

Гомогенные и изотропные материалы (твердые), обладающие линейными упругими свойствами, полностью описываются двумя модулями упругости, представляющими собой пару любых модулей. Если дана пара модулей упругости, все другие модули могут быть получены по формулам, представленным в таблице ниже.

В невязких течениях не существует сдвигового напряжения, поэтому сдвиговый модуль всегда равен нулю. Это влечёт также и равенство нулю модуля Юнга.

Формулы преобразования
Упругие свойства гомогенных изотропных линейно-упругих материалов уникально определяются любыми двумя модулями упругости. Таким образом, имея два модуля, остальные можно вычислить по следующим формулам:
( λ , G ) <displaystyle (lambda ,,G)>	( E , G ) <displaystyle (E,,G)>	( K , λ ) <displaystyle (K,,lambda )>	( K , G ) <displaystyle (K,,G)>	( λ , ν ) <displaystyle (lambda ,, u )>	( G , ν ) <displaystyle (G,, u )>	( E , ν ) <displaystyle (E,, u )>	( K , ν ) <displaystyle (K,, u )>	( K , E ) <displaystyle (K,,E)>
K = <displaystyle K=> модуль объемной

λ + 2 G 3 <displaystyle lambda +<frac <2G><3>>> E G 3 ( 3 G − E ) <displaystyle <frac <3(3G-E)>>> λ 1 + ν 3 ν <displaystyle lambda <frac <1+
u ><3
u >>> 2 G ( 1 + ν ) 3 ( 1 − 2 ν ) <displaystyle <frac <2G(1+
u )><3(1-2
u )>>> E 3 ( 1 − 2 ν ) <displaystyle <frac <3(1-2
u )>>> E = <displaystyle E=> модуль продольной

G 3 λ + 2 G λ + G <displaystyle G<frac <3lambda +2G><lambda +G>>> 9 K K − λ 3 K − λ <displaystyle 9K<frac <3K-lambda >>> 9 K G 3 K + G <displaystyle <frac <9KG><3K+G>>> λ ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) ν <displaystyle <frac <lambda (1+
u )(1-2
u )><
u >>> 2 G ( 1 + ν ) <displaystyle 2G(1+
u )> 3 K ( 1 − 2 ν ) <displaystyle 3K(1-2
u )> λ = <displaystyle lambda => первый параметр ЛамеG E − 2 G 3 G − E <displaystyle G<frac <3G-E>>> K − 2 G 3 <displaystyle K-<frac <2G><3>>> 2 G ν 1 − 2 ν <displaystyle <frac <2G
u ><1-2
u >>> E ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) <displaystyle <frac <(1+
u )(1-2
u )>>> 3 K ν 1 + ν <displaystyle <frac <3K
u ><1+
u >>> 3 K ( 3 K − E ) 9 K − E <displaystyle <frac <3K(3K-E)><9K-E>>> G = <displaystyle G=> модуль сдвига

или второй параметр Ламе

3 K − λ 2 <displaystyle 3<frac <2>>> λ 1 − 2 ν 2 ν <displaystyle lambda <frac <1-2
u ><2
u >>> E 2 + 2 ν <displaystyle <frac <2+2
u >>> 3 K 1 − 2 ν 2 + 2 ν <displaystyle 3K<frac <1-2
u ><2+2
u >>> 3 K E 9 K − E <displaystyle <frac <3KE><9K-E>>> ν = <displaystyle
u => коэф. пуассонаλ 2 ( λ + G ) <displaystyle <frac <lambda ><2(lambda +G)>>> E 2 G − 1 <displaystyle <frac <2G>>-1> λ 3 K − λ <displaystyle <frac <lambda ><3K-lambda >>> 3 K − 2 G 2 ( 3 K + G ) <displaystyle <frac <3K-2G><2(3K+G)>>> 3 K − E 6 K <displaystyle <frac <3K-E><6K>>> M = <displaystyle M=> λ + 2 G <displaystyle lambda +2G> G 4 G − E 3 G − E <displaystyle G<frac <4G-E><3G-E>>> 3 K − 2 λ <displaystyle 3K-2lambda > K + 4 G 3 <displaystyle K+<frac <4G><3>>> λ 1 − ν ν <displaystyle lambda <frac <1-
u ><
u >>> G 2 − 2 ν 1 − 2 ν <displaystyle G<frac <2-2
u ><1-2
u >>> E 1 − ν ( 1 + ν ) ( 1 − 2 ν ) <displaystyle E<frac <1-
u ><(1+
u )(1-2
u )>>> 3 K 1 − ν 1 + ν <displaystyle 3K<frac <1-
u ><1+
u >>> 3 K 3 K + E 9 K − E <displaystyle 3K<frac <3K+E><9K-E>>>

Модули упругости (Е) для некоторых веществ:

Модуль Юнга (модуль упругости первого рода) Е, МПа, Н/мм 2 — постоянная упругости в законе Гука в пределах, когда деформация пропорциональна напряжению.

Модуль Юнга численно равен напряжению, увеличивающему длину образца в два раза: для стали, Е_ст = (2,0-2,2)×10 5 МПа; для чугуна, Е_ч = 1,2×10 5 МПа;
для меди, Е_м = 1,0×10 5 МПа; для алюминия, Е_ал = 0,6×10 5 МПа; для каната, Е_к = (1,1-1,7)×10 5 МПа: канат с органическим сердечником, Е_о = (1,1-1,3)×10 5 МПа; канат с металлическим сердечником, Е_мет = 1,4×10 5 МПа; канат закрытый, Е_з = 1,7×10 5 МПа.

Закон Гука: возникающее удлинение образца Δl под действием внешней силы Р пропорционально величине действующей силы, первоначальной длине l и обратно пропорционально площади поперечного сечения S:

Δl = (l × Р) / (Е × S) или р = Е × ε,

где р = Р / S — напряжение; ε = Δl / l — относительная продольная деформация.

Материалы разделяются на хрупкие и пластичные. Хрупкие вещества
разрушаются при очень малых относительных удлинениях. Хрупкие материалы обычно выдерживают, не разрушаясь, большее сжатие, чем растяжение.

Совместно с деформацией растяжения наблюдается уменьшение диаметра образца. Если Δd — изменение диаметра образца, то ε₁ = Δd / d принято называть относительной поперечной деформацией. Абсолютная величина μ = ε₁ / ε носит название коэффициента поперечной деформации — коэффициента Пуассона. Коэффициент Пуассона для стали: μ_ст = 0,3.

Сдвиг — деформация, при которой все слои тела, параллельные некоторой плоскости, смещаются друг относительно друга.

Закон Гука для деформации сдвига: р = G × α, где G — модуль сдвига;
α — угол сдвига (относительный сдвиг). Модуль упругости стали при сдвиге:
G_ст = 0,8×10 5 МПа.

Соотношение между упругими постоянными: G = Е / 2 × (1 + μ).

Температурный коэффициент линейного расширения — величина, равная среднему (в интервале температур [0; t] °С) относительному удлинению тела (град -1 ): α = (l₁ – l) / (t × l). Температурный коэффициент линейного
расширения: для стали, α_ст = (11-12)×10 -6 град -1 ; для меди, α_м = 16,5×10 -6 град -1 ;
для алюминия, α_ал = 23,0×10 -6 град -1 .

Отсутствие тепловых зазоров приводит к возникновению значительных сил, определяемых площадью сечения вала:

где E — модуль Юнга, МПа; S — площадь сечения вала, м 2 ; α — коэффициент линейного расширения, град -1 ; Δt — повышение температуры, °С.

Предел текучести — напряжение, при котором появляется текучесть (увеличение деформации без увеличения деформирующей силы). Предел текучести: рядовая сталь, σ_т = 200 МПа; сталь средней прочности, σ_т = 400 МПа; легированная сталь, σ_т = 800 МПа.

Предел упругости — напряжение, при котором остаточные деформации впервые достигают некоторой величины, характеризуемой определенным допуском, устанавливаемым техническими условиями.

Предел прочности — напряжение, отвечающее наибольшей нагрузке,
предшествовавшей разрушению образца.

Усталость — процесс постепенного возникновения и развития трещины в материале под воздействием многократно повторяющихся силовых
воздействий.

Предел выносливости — наибольшее напряжение, которое может выдержать материал при заданном числе циклов нагружения.

Ползучесть — нарастание во времени пластической деформации материала при силовых воздействиях, меньших чем те, которые вызывают остаточную деформацию.

До того, как взять в работу какой-то строительный материал, необходимо изучить его прочностные данные и возможное взаимодействие с другими веществами и материалами, их сочетаемость в плане адекватного поведения при одинаковых нагрузках на конструкцию. Определяющая роль для решения этой задачи отводится модулю упругости – его называют ещё модулем Юнга.

Высокая прочность стали позволяет использовать её при строительстве высотных зданий и ажурных конструкций стадионов и мостов. Добавки в сталь некоторых веществ, влияющих на её качество, называют легированием, и эти добавки могут увеличить прочность стали в два раза. Модуль упругости стали легированной гораздо выше, чем обычной. Прочность в строительстве, как правило, достигается подбором площади сечения профиля в силу экономических причин: высоколегированные стали имеют более высокую стоимость.

Далее, будет рассмотрено значение термина, изменчивость его для стали различных сортов. Для сравнения будут приведены значения модуля других материалов.

Физический смысл

Обозначение модуля упругости как физической величины – (Е), этот показатель характеризует упругую сопротивляемость материала изделия прилагаемым к нему деформирующим нагрузкам:

• продольным – растягивающим и сжимающим;
• поперечным – изгибающим или исполненным в виде сдвига;
• объёмным – скручивающим.

Чем выше значение (Е), тем выше сопротивляемость материала нагрузкам, тем прочнее будет изделие из этого материала и тем выше будет предел разрушения. Например, для алюминия эта величина составляет 70 ГПа, для чугуна – 120, железа – 190, а для стали до 220 ГПа.

Определение

Модуль упругости – сводный термин, вобравший в себя другие физические показатели свойства упругости твёрдых материалов – под воздействием силы изменяться и обретать прежнюю форму после её прекращения, то есть, упруго деформироваться. Это отношение напряжения в изделии – давление силы на единицу площади, к упругой деформации (безразмерная величина, определяемая отношением размера изделия к его изначальному размеру). Отсюда и его размерность, как и у напряжения – отношение силы к единице площади. Поскольку напряжение в метрической СИ принято измерять в Паскалях, то и показатель прочности – тоже.

Существует и другое, не очень корректное определение: модуль упругости – это давление, способное удлинить изделие вдвое. Но предел текучести большого количества материалов значительно ниже прилагаемого давления.

Модули упругости, их виды

Способов изменения условий приложения силы и вызываемых при этом деформаций много, и это предполагает и большое количество видов модулей упругости, но на практике сообразно деформирующим нагрузкам выделяют три основных:

• Юнга (Е) представляет упругую сопротивляемость растягивающим и сжимающим нагрузкам – собственно, именно этим термином пользуются, когда говорят о модуле упругости;
• модуль сдвига (G) характеризует сопротивляемость любому нарушению формы без её разрушения или изменения нормы – это отношение сдвигающей нагрузки к деформации, проявляющейся в виде изменчивости прямого угла между двумя половинами плоскости, подвергшейся нагрузке. Второе название этого термина – жёсткости, он же представляет и вязкость материала;
• модуль объёмной упругости (К) – сопротивляемость изменению объёма при разносторонних нормально приложенных напряжениях, имеющих равную величину по всем векторам. Его называют ещё модулем объёмного сжатия, выражается отношением объёмного давления к объёмной деформации сжатия.

Этими показателями характеристики упругости не исчерпываются, есть и другие, которые несут другую информацию, имеют иную размерность и смысл. Это также широко известные среди специалистов показатели упругости Ламе и коэффициент Пуассона.

Как определить модуль упругости стали

Для определения параметров различных марок стали существуют специальные таблицы в составе нормативных документов в области строительства – в строительных нормах и правилах (СНиП) и государственных стандартах (ГОСТ). Так, модуль упругости (Е) или Юнга, у чугуна белого и серого от 115 до 160 ГПа, ковкого – 155. Что касается стали, то модуль упругости стали С245 – углеродистой имеет значения от 200 до 210 ГПа. Легированная сталь имеет показатели несколько выше – от 210 до 220 ГПа.

Та же самая характеристика у рядовых марок стали Ст.3 и Ст.5 имеет то же значение – 210 ГПа, а у стали Ст.45, 25Г2С и 30ХГС – 200 ГПа. Как видим, изменчивость (Е) для различных марок стали незначительна, а вот в изделиях, например, в канатах – другая картина:

• у прядей и свивок проволоки высокой прочности 200 ГПа;
• стальные тросы с металлическим стержнем 150 ГПа;
• стальные канаты с органическим сердечником 130 ГПа.

Как можно заметить, разница значительная.

Значения модуля сдвига или жёсткости (G) можно увидеть в тех же таблицах, они имеют меньшие значения, для прокатной стали – 84 ГПа, углеродистой и легированной – от 80 до 81 гпа, а для сталей Ст.3 и Ст.45–80 ГПа. Причиной различия значений параметра упругости является одновременное действие сразу трёх основных модулей, рассчитываемых по разным методикам. Однако разница между ними небольшая, что говорит о достаточной точности изучения упругости. Поэтому не стоит зацикливаться на вычислениях и формулах, а следует принять конкретную величину упругости и пользоваться ей как константой. Если не производить вычисления по отдельным модулям, а сделать расчёт комплексно, значение (Е) будет составлять 200 ГПа.

Необходимо понимать, значения эти разнятся для сталей с разными присадками и стальных изделий, включающих детали из других веществ, но разнятся эти значения незначительно. Основное влияние на показатель упругости оказывает содержание углерода, а вот способ обработки стали – горячий прокат или холодная штамповка, значительного влияния не оказывает.

При выборе стальных изделий пользуются также и ещё одним показателем, который регламентируется так же, как и модуль упругости в таблицах изданий ГОСТ и СНиП – это расчётное сопротивление растягивающим, сжимающим и изгибающим нагрузкам. Размерность у этого показателя та же, что и у модуля упругости, но значения на три порядка меньше. Этот показатель имеет два назначения: нормативное и расчётное сопротивление, названия сами говорят за себя – расчётное сопротивление применяется при выполнении расчётов прочности конструкций. Так, расчётное сопротивление стали С255 при толщине проката от 10 до 20 мм – 240 МПа, при нормативном 245 МПа. Расчётное сопротивление проката от 20 до 30 мм чуть ниже и составляет 230 МПа.