- Упругие свойства тел
- Таблицы значений Модуля упругости Юнга, Модуля сдвига и коэффициента Пуассона
- Факторы, влияющие на значение расчетного модуля упругости
- 1. Класс бетона
- 2. Время приложения нагрузки
- 3. Влажность воздуха
- 4. На значение модуля упругости бетона также влияют температура окружающей среды и интенсивность радиоактивного излучения.
- Определение значения модуля упругости
Модуль Юнга (синонимы: модуль упругости I рода, модуль продольной упругости) – механическая характеристика материалов, определяющая их способность сопротивляться продольным деформациям. Показывает степень жесткости материала.
Назван в честь английского ученого Томаса Юнга.
Обозначается латинской прописной буквой E
Единица измерения – Паскаль [Па].
В сопротивлении материалов модуль продольной упругости участвует в расчетах на жесткость при растяжении-сжатии и изгибе, а также в расчетах на устойчивость.
Учитывая то, что практически все конструкционные материалы имеют значение E высокого порядка (как правило 10 9 Па), его размерность часто записывают с помощью кратной приставки «гига» (гигапаскаль [ГПа])
Для всех материалов его величину можно определить в ходе эксперимента по определению модуля упругости I рода.
Приближенно значение модуля можно определить по диаграмме напряжений получаемой при испытаниях на растяжение.
Рис. 1 Начальный фрагмент диаграммы напряжений
В этом случае модуль Юнга равен отношению нормальных напряжений к соответствующим относительным деформациям, на участке диаграммы (рис. 1) до предела пропорциональности σ пц (тангенсу угла α наклона участка пропорциональности к оси деформаций ε ).
В таблице 1 приведены сравнительные значения модуля для некоторых наиболее часто используемых материалов
Упругие свойства тел
Ниже приводятся справочные таблицы общеупотребительных констант; если известны две их них, то этого вполне достаточно для определения упругих свойств однородного изотропного твердого тела.
Модуль Юнга или модуль продольной упругости в дин/см 2 .
Модуль сдвига или модуль кручения G в дин/см 2 .
Модуль всестороннего сжатия или модуль объемной упругости К в дин/см 2 .
Объем сжимаемости k=1/K/.
Коэффициент Пуассона µ равен отношению поперечного относительного сжатия к продольному относительному растяжению.
Для однородного изотропного твердого материала имеют место следующие соотношения между этими константами:
K = E / 3(1 – 2μ) – (c)
Коэффициент Пуассона имеет положительный знак, и его значение обычно заключено в пределах от 0,25 до 0,5, но в некоторых случаях он может выходить за указанные пределы. Степень совпадения наблюдаемых значений µ и вычисленных по формуле (b) является показателем изотропности материала.
Таблицы значений Модуля упругости Юнга, Модуля сдвига и коэффициента Пуассона
Курсивом даны значения, вычисленные из соотношений (a), (b), (c).
Материал при 18°С
Модуль Юнга E, 10 11 дин/см 2 .
Модуль сдвига G, 10 11 дин/см 2 .
Коэффициент Пуассона µ
Модуль объемной упругости К, 10 11 дин/см 2 .
При расчетах бетонных и железобетонных конструкций по второй группе предельных состояний, в частности при определении прогибов, необходимо знать модуль упругости E (модуль Юнга) бетона при сжатии. При этом следует различать начальный Eb и приведенный Eb1 модули упругости.
Факторы, влияющие на значение расчетного модуля упругости
Более подробно сущность модуля упругости, предела пропорциональности, предела прочности, нормальных напряжений, деформаций и других понятий рассматривается отдельно. Здесь лишь отметим, что для материалов, у которых предел пропорциональности незначительно меньше предела текучести, можно использовать линейную деформационную модель. Т.е. предполагать деформации прямо пропорциональными нормальным напряжениям.
Примером таких материалов являются стали различных марок. А вот бетон к таким материалам не относится. Более того, у бетона нет ярко выраженного предела пропорциональности и предела текучести. Диаграмма напряжений бетона при постепенном загружении выглядит приблизительно так:
Рисунок 324.1
Однако это далеко не единственная из возможных диаграмм напряжений бетона, так как на значение деформаций ε будут влиять не только нормальные напряжения σ, возникающие в поперечных сечениях, но и множество других факторов:
1. Класс бетона
Начальный модуль упругости бетона зависит от класса бетона. Значение начального модуля упругости можно определить по следующей таблице:
Таблица 1. Начальные модули упругости бетона (согласно СП 52-101-2003)
2. Время приложения нагрузки
При кратковременном действии нагрузки деформации бетона почти прямо пропорциональны напряжениям, кроме того такие деформации остаются упругими. При расчетах на кратковременное действие нагрузки (до 1-2 часов) значение приведенного модуля упругости на участках без трещин определяется по формуле:
где φb1 = 0.85 – для тяжелых, мелкозернистых и легких бетонов на плотном мелком заполнителе; = 0.7 – для поризованных и легких бетонов на пористом мелком заполнителе.
При длительном действии нагрузки того же значения, деформации начинают увеличиваться до некоторого предела, например при σ = Rb – до точки 1 на диаграмме напряжений. После снятия нагрузки пластические деформации εпл останутся (потому они пластическими и называются), а при повторном загружении до указанного предела деформации будут прямо пропорциональны напряжениям. Процесс нарастания пластических деформаций с течением времени при постоянных нормальных напряжениях называется ползучестью бетона.
Так как при длительном действии нагрузки диаграмма напряжений стремится к показанной на рисунке 324.1, то при расчетах необходимо учитывать нелинейность изменения деформаций при линейно изменяющихся напряжениях. К тому же в изгибаемых элементах нелинейному изменению деформаций препятствует сам материал. Напомню, нормальные напряжения в поперечных сечениях изгибаемых элементов прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения, через который проходит нейтральная линия, до рассматриваемой точки. Таким образом различные слои бетона, работающие совместно, приводят к частичному перераспределению деформаций по высоте элемента, при этом перераспределенную эпюру деформаций можно условно рассматривать как линейную:
Рисунок 324.2
На рисунке 324.2 показана некоторая высота сжатой зоны сечения у, при которой нормальные напряжения σ будут прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести до рассматриваемой точки, это соответствует работе бетона в области условно упругих деформаций. При этом изменение деформаций можно рассматривать по зависимости, показанной на рисунке 324.2.а) или 324.2.б). Часто расчетами на прочность допускается наличие в сжатой области пластического шарнира, при котором изменяется эпюра напряжений и соответственно увеличивается значение деформаций:
Рисунок 324.3
На основании этого для упрощения расчетов обычно принимается двухлинейная (рис. 324.3. а) или трехлинейная (рис. 324.3.б) диаграмма состояния сжатого бетона. Согласно СП 52.101.2003 трехлинейная диаграмма выглядит так:
Рисунок 324.4
Еb1 – при кратковременном действии нагрузки принимается равным Eb, а при длительном действии нагрузки определяется по следующей формуле:
где φb,cr – коэффициент ползучести бетона, определяемый в зависимости от класса бетона и влажности окружающей среды. Таким образом учитывается третий фактор, влияющий на модуль упругости бетона:
3. Влажность воздуха
Значение коэффициента ползучести определяется по следующей таблице:
Таблица 2. Коэффициенты ползучести бетона
а значения деформаций εbo и εb2 при необходимости (если нормальные напряжения больше 0.6Rb,n) определяются по таблице 3:
Таблица 3. Относительные деформации бетона (согласно СП 52-101.2003)
4. На значение модуля упругости бетона также влияют температура окружающей среды и интенсивность радиоактивного излучения.
Значение начальных модулей упругости, приведенных в таблице 1, соответствует температуре окружающей среды +20±5 о С и нормальному радиационному фону. При изменении температуры в пределах ±20 от указанного значения влияние температуры на модуль упругости можно не учитывать. А при больших изменениях температуры следует учитывать еще и температурные деформации бетона. В целом уменьшение температуры приводит к увеличению модуля упругости, но и к повышению хрупкости материала, а увеличение температуры – к уменьшению модуля упругости и к увеличению пластичности материала.
А теперь попробуем выяснить, как все эти теоретические цифры можно применить на практике.
Определение значения модуля упругости
Имеется железобетонная прямоугольная плита перекрытия – шарнирно опертая бесконсольная балка размерами h = 20 см, b = 100 см; ho = 17.3 см; пролетом l = 5,6 м; бетон класса В15 (начальный модуль упругости Еb = 245000 кгс/см 2 ; Rb,ser (Rb,n) = 112 кгс/см 2 , Rb = 85 кгс/см 2 ); растянутая арматура класса А400 (Es= 2·10 6 кгс/см 2 ) с площадью поперечного сечения As = 7.69 cм 2 (5 Ø14); полная равномерно распределенная нагрузка q = 7,0 кг/см, сумма постоянных и длительных нагрузок ql = 6.5 кгс/см
1. Сначала выясним, какими будут параметры сечения при расчетном модуле упругости Еb1. Согласно формулы (324.3) и таблицы 2, при классе бетона В15 и при влажности 40-75%:
Eb1 = 245000/(1 + 3.4) = 55681 кгс/см 2
2. Тогда высоту сжатой части приведенного сечения посредине балки можно найти, решив следующее уравнение:
у 3 = 3As(ho – y) 2 Es/bEb1 (321.2.4)
Решение этого уравнения для рассматриваемой плиты даст уl/2 = 8.61 см.
Тогда приведенный момент сопротивления при такой высоте сжатой зоны сечения составит:
W = 2by 2 /3 = 2·100·8.61 2 /3 = 4942.14 см 3
3. Определим значение максимальных нормальных напряжений. Так как увеличение деформаций следует учитывать только при действии постоянных и длительных нагрузок, то значение момента от таких нагрузок составит:
σ = M/W = qll 2 /8W = 6.5·560 2 /(8·4942.14) = 51.56 кгс/см 2 2 (321.3.1)
Это означает, что для дальнейших расчетов плиты на действие длительных нагрузок можно использовать полученное значение модуля упругости бетона без каких-либо дополнительных поправок.
4. Расчетный момент инерции составит
Ip = W·y = 4942.14·8.61 = 42551.8 см 4 (321.5)
5. Значение прогиба при действии постоянных и длительных нагрузок составит
f = k5ql 4 /384Eb1Ip = 0.93·5·6.5·560 4 /(384·55681·42551.8) = 3.27 см (321.6)
где k = 0.93 – коэффициент, учитывающий изменение высоты сжатой зоны поперечного сечения по длине балки. На первый взгляд это кажется странным, ведь когда мы определяли прогиб по начальному модулю упругости бетона и использовали коэффициент k = 0.86, то пригиб составлял 3.065 см, т.е. при использовании коэффициента k = 0.93 прогиб был бы даже больше и составлял 3.31 см. Однако ничего странного в этом нет. Объясню, почему.
При определении прогиба по начальному модулю упругости мы искусственно занизили значение высоты сжатой зоны из-за нарастания пластических деформаций в результате превышения расчетного сопротивления. В данном же случае уменьшение модуля упругости бетона означает увеличение высоты сжатой зоны, а кроме того, значение нормальных напряжений, как показал расчет, не превышает 0.6Rb,n.
В связи с этим разницу при определении приблизительного прогиба по начальному и расчетному модулям упругости бетона можно считать не существенной. Т.е. при определении приблизительного значения прогиба расчет можно выполнять как по начальному значению модуля упругости бетона, так и с учетом его изменения в результате действия длительной нагрузки. Вот в в принципе и все.
Надеюсь, уважаемый читатель, информация, представленная в данной статье, помогла вам хоть немного разобраться в имеющейся у вас проблеме. Также надеюсь на то, что и вы поможете мне выбраться из той непростой ситуации, в которую я попал недавно. Даже и 10 рублей помощи будут для меня сейчас большим подспорьем. Не хочу грузить вас подробностями своих проблем, тем более, что их хватит на целый роман (во всяком случае мне так кажется и я даже начал его писать под рабочим названием "Тройник", на главной странице есть ссылка), но если я не ошибся в своих умозаключениях, то роману быть и вы вполне можете стать одним из его спонсоров, а возможно и героев.
После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью и адресом электронной почты. Если вы хотите задать вопрос, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Спасибо. Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье "Записаться на прием к доктору"
Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783
Для Украины – номер гривневой карты (Приватбанк) 5168 7422 0121 5641
Кошелек webmoney: R158114101090
- Расчет конструкций . Расчет железобетонных конструкций
Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье "Записаться на прием к доктору" (ссылка в шапке сайта).