Определите жесткость системы пружин при последовательном соединении

Силы упругости возникают при деформации тел.

Вычисление силы упругости производится по закону Гука :

где k — коэффициент жесткости (упругости) пружины; Δ x = | l − l 0 | — абсолютная деформация (растяжения или сжатия) пружины, l 0 — длина пружины в недеформированном состоянии, l — длина растянутой (или сжатой) пружины.

Направление силы упругости F → упр (рис. 2.9) противоположно направлению силы, вызывающей деформацию:

Относительная деформация определяется отношением:

ε = Δ x l 0 или ε = Δ x l 0 ⋅ 100 % ,

где Δ x = | l − l 0 | — абсолютная деформация (растяжения или сжатия) пружины, l 0 — длина недеформированной пружины, l — длина растянутой (сжатой) пружины.

Коэффициент жесткости (упругости) k нескольких пружин одинаковой длины , но разной жесткости вычисляется для последовательного соединения по формуле (рис. 2.10)

1 k = 1 k 1 + 1 k 2 + . + 1 k N ;

где k 1 , k 2 , . k N — коэффициенты жесткости (упругости) этих пружин.

Коэффициент жесткости (упругости) k нескольких пружин одинаковой длины , но разной жесткости (рис. 10), вычисляется для параллельного соединения по формуле (рис. 2.11)

k = k 1 + k 2 + . + k N ,

где k 1 , k 2 , . k N — коэффициенты жесткости (упругости) этих пружин.

• для последовательного соединения N одинаковых пружин с коэффициентами жесткости (упругости) k 0 :

для параллельного соединения N одинаковых пружин с коэффициентами жесткости (упругости) k 0 :

Пример 16. При последовательном соединении трех пружин, коэффициенты жесткости которых относятся как 1 : 2 : 3, сила 12 Н вызвала растяжение системы на 4,0 см. Рассчитать коэффициенты жесткости указанных пружин.

Решение. Величина силы упругости, действующей на пружину, определяется формулой

F упр = k общ ∆ x ,

где k общ — коэффициент жесткости составной пружины; ∆ x — указанное в условии задачи растяжение пружины.

Величина силы упругости, с другой стороны, совпадает с величиной приложенной силы:

Значение данной силы и величина растяжения пружины под действием этой силы позволяют рассчитать коэффициент жесткости составной пружины:

k общ = F Δ x = 12 4,0 ⋅ 10 − 2 = 300 Н/м.

Для определения коэффициентов жесткости каждой пружины запишем их коэффициенты жесткости в следующем виде:

так как указанные коэффициенты по условию задачи соотносятся между собой как

k 1 : k 2 : k 3 = 1 : 2 : 3.

Для расчета величины k запишем формулу для коэффициента жесткости пружины, состоящей из трех последовательно соединенных пружин, и подставим в нее выражения k 1 , k 2 , k 3 :

1 k общ = 1 k 1 + 1 k 2 + 1 k 3 = 1 k + 1 2 k + 1 3 k = 11 6 k , или k общ = 6 k 11 .

Найденное ранее значение k общ = 300 Н/м позволяет рассчитать k = 550 Н/м.

Тогда коэффициенты жесткости каждой из пружин имеют значения:

k 2 = 2 k = 1100 Н/м;

k 3 = 3 k = 1650 Н/м.

Пример 17. Вычислить абсолютную деформацию пружины с коэффициентом жесткости 100 Н/м, присоединенной к бруску, лежащему на горизонтальной поверхности, в момент начала скольжения бруска по поверхности. Сила, вызывающая скольжение бруска, прикладывается к пружине. Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен 0,1. Масса бруска составляет 1,0 кг.

Решение. На рисунке показаны силы, действующие на брусок.

Абсолютную деформацию пружины рассчитаем по формуле

где F упр = F — модуль силы упругости, возникающей в пружине (величина силы упругости равна величине приложенной силы); k — коэффициент жесткости пружины.

Со стороны пружины на брусок действует сила, модуль которой совпадает с силой упругости:

В момент начала скольжения величина силы трения равна силе, приложенной к бруску в направлении движения:

где µ — коэффициент трения; N = mg — модуль силы нормальной реакции опоры.

Поэтому величина силы упругости может быть вычислена по формуле

Из исходного уравнения следует, что величина деформации пружины в момент начала скольжения определяется выражением

Расчет позволяет определить ее значение:

Δ x = 0,1 ⋅ 1,0 ⋅ 10 100 = 10 − 2 м = 1,0 см .

Пример 18. Вычислить массу груза, подвешенного к пружине жесткостью 250 Н/м, если известно, что относительная деформация пружины составляет 25 %. Длину нерастянутой пружины считать равной 100 мм.

Решение. Проиллюстрируем условие задачи рисунком.

Сила упругости определяется формулой

где k — коэффициент жесткости (упругости) пружины; ∆ x = l − l 0 — абсолютная деформация пружины (величина ее растяжения под действием груза); l 0 — длина недеформированной пружины; l — длина пружины в деформированном состоянии.

Из определения относительной деформации

где ε = 0,25 — относительная деформация (в долях).

С учетом значения относительной деформации формула для вычисления силы упругости принимает вид:

F упр = k ε l 0 = 0,25 k l 0 .

С другой стороны, сила упругости, возникающая в пружине, численно равна весу тела, вызвавшего деформацию пружины:

где m — масса тела; g — модуль ускорения свободного падения.

Таким образом, имеем равенство

позволяющее вычислить массу груза, подвешенного к пружине:

m = 0,25 k l 0 g = 0,25 ⋅ 250 ⋅ 0,100 10 = 0,625 кг = 625 г .

Если пружины соединены параллельно, то деформация всех пружин одинакова и равна λ (рис.2а), нагрузка же, действующая на каждую из пружин, различна: на первую пружину действует сила P₁, на вторую P₂, и т.д., причем P₁+P₂+…+P_n=P.

Поэтому

Или т.е. жесткость системы параллельно соединенных пружин K_c равна сумме жесткостей K_i отдельных пружин.

При последовательном соединении пружин (рис.2б) одинаковой для всех пружин является сила нагрузки P, а общая деформация λ складывается из

деформаций λ₁, λ₂,… ,λ_n, составляющих пружин.

или

Отсюда следует, что жесткость системы параллельно соединенных пружин больше жесткостей отдельных пружин, входящих в систему, а жесткость системы последовательно соединенных пружин, наоборот, меньше жесткостей пружин, составляющих эту систему.

Для определения внутренних силовых факторов в витке рассмотрим сечение пружины ( Рис.3).

При растяжении (или сжатии) винтовой цилиндрической пружины в любом поперечном сечении витка возникают крутящий и изгибающий моменты, поперечная и нормальная силы, но при малом угле подъёма винтовой оси проволоки напряжения и перемещения, вызываемые продольной силой и изгибающим моментом малы, и поэтому не учитываются.

Рассечем пружину плоскостью, перпендикулярной ее оси и рассмотрим равновесия отсеченной части пружины,

Из условия статического равновесия находим, что в поперечных сечениях пружины действуют внутренние силовые факторы в виде поперечного усилия Q=P и крутящего момента M_Kp=PD_cp/2.

От действия усилия Q в поперечном сечении витка пружин возникают касательные напряжения сдвига (рис. 4а), которые равномерно распределены по сечению, площадью А. От действия крутящего момента M_Kp возникают касательные напряжения кручения (рис. 4б), суммируя напряжения, получаем эпюру суммарных напряжений (рис. 4в).

где τ₁ – касательные напряжения сдвига

τ₂ – касательные напряжения кручения

,

,

где W_p – полярный момент сопротивления сечения при кручении

Диаметр проволоки значительно меньше двух средних диаметров витка пружины, поэтому можно принять

Изменение продольных размеров (осадку) λ удобно определить энергетическим методом, приравнивая работу А приложенной силы Р и потенциальной энергии деформации U пружины. Работа внешних сил

.

Потенциальная энергия накапливается, в основном, за счет кручения прутка и поэтому может быть определена

Учитывая, что крутящий Мк=PD/2 и момент инерции Ip=πd4/32 по длине проволоки не изменяются, а длина проволоки l = πdn, получаем

Приравнивая A и U, находим

Таким образом, при определении напряжений и перемещений в цилиндрических пружинах учитывают только действие крутящего момента.

Основными материалами пружин являются высокопрочная специальная пру­жинная проволока I, II и III классов диаметром 0,2. 5 мм, а также высокоуг­леродистые стали 65, 70, марганцовистая сталь 65Г, кремнистая сталь 60С2А, хромованадиевая сталь 50ХФА и др.

Пружины, предназначенные для рабо­ты в химически активной среде, изготов­ляют из фосфористых БрОФ 6-0,15, БрОФ 4-0,2 и бериллиевой БрБ2 бронз.

3. УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП РАБОТЫ

Внешний вид установки представлен на рис. 5. В состав установки входят:

силовая рама с основанием (6) и (9), элементами горизонтирования (10), кронштейнами (11) и двумя траверсами, выполненных в виде подвиж­ной и неподвижной планок (5);нагрузочные устройства с двумя подвесами (7) и наборами съемных грузов (8);две витые цилиндрические пружины сжатия (1);

два индикатора часового типа (2), указатели (3) и стандартная измери­тельная линейка (4).

Сжимающая сила создается при помощи съемных грузов. Масса одного груза – I кг. Максимальное число грузов на одну пружину – 5. На каждой ступени нагружения фиксируется упругое перемещение (осадка) пружины. Представлены две системы измерений: одна приближенная – измерительная линейка, другая уточненная – индикаторы часового типа.

Рис. 5. Лабораторная установка МЗ

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент – человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10178 – | 7215 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

к выполнению лабораторной работы 1.5

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Жесткости Пружины и СИСТЕМЫ ПРУЖИН 

Под действием внешних сил твердые тела могут деформироваться, то есть изменять свои размеры и форму. Если после прекращения действия внешних сил, вызвавших деформацию, тело принимает первоначальные размеры и форму, то деформацию называют упругой.

На пружину, изображенную на рисунке 7.1, действует направленная вертикально вниз сила . Под действием этой силы пружина деформируется, и ее длина возрастает. Упругая сила , возникающая в пружине вследствие ее деформации, уравновешивает внешнюю силу . Силы и равны по модулю и направлены в противоположные стороны.

В соответствии с законом Гука при упругой деформации пружины

,

где k, – жесткость пружины и изменение ее длины соответственно.

Жесткость пружины характеризует ее упругие свойства.

Рассмотрим две пружины, соединенные последовательно, как это изображено на рисунке 7.2. Если к нижней пружине приложить направленную вертикально вниз внешнюю силу , то в соответствии с третьим законом Ньютона равная ей по модулю направленная вертикально вниз сила будет действовать и на вторую пружину со стороны первой.

Под действием силы пружины деформируются. Пусть изменение длины первой пружины равно , а второй пружины – . Тогда в соответствии с законом Гука

,

,

где – жесткость первой и второй пружин соответственно.

Жесткость системы двух последовательно соединенных пружин

,

Подставляя в это выражение значения и из формул (7.1) и (7.2), получаем

,

В общем случае при последовательном соединении n пружин

,

где – жесткость -й пружины.

На рисунке 7.3 изображены две параллельно соединенные пружины, нижние концы которых закреплены на горизонтальной перемычке. Если на перемычку подействовать направленной вертикально вниз силой , то произойдет деформация пружин. Со стороны перемычки на первую пружину будет действовать сила , а на вторую пружину – сила . В соответствии с законом Гука

,

,

где , – жесткость первой и второй пружин соответственно; – изменение длины каждой из пружин.

Жесткость системы двух параллельно соединенных пружин

.

Так как , то, подставляя значения и из формул (7.5) и (7.6), получаем

,

В общем случае при параллельном соединении n пружин

,

где – жесткость -й пружины.

В лабораторной работе экспериментально определяется жесткость пружины и системы пружин. Схема экспериментальной установки изображена на рисунке 7.4.

Один конец пружины закреплен на основании стойки, а второй ее конец соединен с нитью. Нить перекинута через шкив, установленный в верхней части стойки, а свободный конец нити соединен с подвесом массой . На пружину со стороны нити действует сила

.

Расстояние от основания стойки до нижнего торца подвеса равно l . Установка на подвес дополнительного груза массой m приводит к изменению длины пружины на величину

,

где l – расстояние от основания стойки до нижнего торца подвеса после установки на него груза массой m.

Увеличение массы подвешенного груза приводит к появлению дополнительной силы, действующей на пружину:

.

С другой стороны в соответствии с законом Гука

.

Приравниваем правые части двух последних формул и выражаем жесткость пружины

.

Порядок выполнения работы и обработки результатов измерений

ознакомиться с устройством экспериментальной установки, записать перечень приборов и принадлежностей и их характеристики в отчет о лабораторной работе.

Выполнить опыты поочередно с двумя пружинами, имеющими различную жесткость. Для этого один конец пружины закрепить на основании стойки, а другой ее конец соединить с нитью. Нить перекинуть через шкив, установленный в верхней части стойки, и свободный конец нити соединить с подвесом массой m. С помощью линейки измерить расстояние l от основания стойки до нижнего торца подвеса. Установить на подвес дополнительный груз массой m и измерить изменившееся расстояние l от основания стойки до нижнего торца подвеса. Рассчитать изменение длины пружины по формуле (7.8), а затем жесткость пружины по формуле (7.9). Повторить измерения не менее четырех раз, устанавливая на подвес дополнительные грузы. Полученные данные записать в таблицу 7.1, а затем выполнить аналогичные опыты со второй пружиной.

Изменение длины пружины можно также рассчитывать по формуле

,

где R – радиус шкива (R = 25,0 мм); – угол поворота шкива при установке на подвес дополнительного груза.

Угол поворота шкива можно определить по выражению

,

где , – угловая координата шкива до и после установки на подвес дополнительного груза соответственно.

Угловые координаты шкива определяют по шкале с ценой деления 5. Если изменение длины пружины рассчитывается по формуле (7.10), то в таблицу вместо l и l записывают значения и .